Matematicas

jueves, 25 de noviembre de 2010

Métodos de Solución para un Sistema de Ecuaciones de 2x2

MÉTODO POR SUMA Y RESTA

1.Se multiplican las ecuaciones por los números que hagan que ambas ecuaciones tengan el coeficiente de las variables iguales, excepto tal vez por el signo.

2.Se suman o se restan las ecuaciones para eliminar esa variable.

3. Se resuelve la ecuación resultante para la variable que quedo.

4.Se sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

5. Comprobamos la solución sustituyendo los valores en las ecuaciones originales.

Ejemplo:

3x - 6y = 5
(2) 4x + 3y = -1
3x - 6y =5
8x - 6y = -2
11x = 3
x = 3/11
3x = -6y = 5
3/1 (3/11) -6y = 5
9/11 - 6y/1 = 5/1
9 - 66y = 55
-66y = 55 - 9
-66y = 46
y = 46/-66
y = 23/33

MÉTODO POR SUSTITUCION

3x – 4y = -6

2x + 4y = 16

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2x = 16 – 4y x = 8 – 2y

2. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2x = 16 – 4y x = 8 – 2y

3. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2x = 16 – 4y x = 8 – 2y

4. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2x = 16 – 4y x = 8 – 2y

5. Solución:

X= 2 Y= 3

MÉTODO POR IGUALACIÓN

3x – 4y = -6

2x + 4y = 16

1. Despejamos, por ejemplo, la incógnita “x” de la primera y segunda ecuación:

3x = -6 + 4y x= -6 + 4y / 3

2x = 16 – 4y x= 16 - 4y / 2

2. Igualamos ambas expresiones:

-6 + 4y /3 = 16 - 4y / 2

3. Resolvemos la ecuación:

2 (-6 + 4y) = 3 (16 – 4y) -12 + 8 y = 48 – 12y

8y + 12y = 48 + 12 20y = 60 y = 3

4. Sustituimos el valor de “y”, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada “x”:

X= -6 + 4 . 3 / 3 = -6 + 12 / 3 x = 2

5. Solución:

X = 2       y = 3

MÉTODO POR DETERMINANTES
3x + y = 5
4x + 2y = 8

Determinante = 3    1       3 (2) - (4) (1)
                          4     2       6 - 4 = 2           Determinante 2
                          x     y

Determinante x = 5       1      5 (2) - (8) (1)
                             8       2       10 - 8 = 2       Determinante x = 2
                            T.I      y
Determinante y = 3      5      3 (8) - (4) (5)
                           4      8        24 - 20 = 4    Determinante y = 4
                             x      T.I

Para obtener el resultado de "x" y "y" se divide el determinante x entre el determinante del sistema. Para obtener y divido el determinante y entre el determinante del sistema.
x = 2/2        x = 1
y = 4/2        y = 2

miércoles, 3 de noviembre de 2010

Suma y Resta de Polinomios

SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

Para sumar o restar polinomios, hay que sumar o restar entre sí los monomios que sean semejantes (misma parte literal)

Ejemplos: 2x+3x = 5x

(3x²+2x) + (4x²+3x) = 7x²+5x

si no hay términos semejantes, se deja indicado:

Ejemplo: 3x²+2x no son semejantes, se deja indicado

ejercicios:

Calcula:

a) $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) + ( 5x^3 - x^2 + 2x ) \;\!$

b) $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) - ( 5x^3 - x^2 + 2x ) \;\!$

Solución:

a) $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) + ( 5x^3 - x^2 + 2x ) = 4x^4+3x^3+2x^2+5 \;\!$

b) $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) - ( 5x^3 - x^2 + 2x ) = 4x^4-7x^3+4x^2-4x+5 \;\!$

Calcula el producto: $(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) \cdot 2x^2 \;\!$

Solución:

Producto de polinomios

Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno de sus factores por todos y cada uno de los monomios del otro factor y, después, se suman los monomios semejantes obtenidos.

Calcula el producto: $(2x^3 - 3x^2 +1) \cdot (2x-3)\;\!$

Solución:

$(2x^3 - 3x^2 +1) \cdot (2x-3) = 4x^4-6x^3-6x^3+9x^2+2x-3=4x^4-12x^3+9x^2+2x-3 \;\!$

$(4x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 5 ) \cdot 2x^2 = 8x^6-4x^5+6x^4-4x^3+10x^2 \;\!$

Series y Sucesiones

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,si no es una sucesión finita.

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

Una serie geometrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^{\infty}{1 \over 2^{n}}.$

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

$\sum_{n=0}^{\infty} az^n = {a \over 1 - z}$

Series

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10

Factorización

Factorizar es un proceso que permite descomponer en factores una expresion numerica o algebraica.
15=3x5

Recordando que factor es cada uno de los numeros que se milltiplican para obtener un producto.
16=2x8

Procedimiento general para factorizar:
1.-Buscar el factor comun.
2.-Examniar el numero de terminos.
a) 2 terminos (diferencia de cuadrados)
b) 3 terminos (trinomio cuadrado perfecto)
3.-Factorizar cuantas veces sea necesario (factorizar al maximo)

Multiplicación de Monomios, Binomios y Polinomios

Monomio por Monomio
Monomio por Polinomio
Polinomio por Polinomio
Monomio por Monomio:
Es la multiplicación de dos o más monomios se aplican las reglas de los signos y las leyes de los exponentes
1.-Determinar el signo del producto o de la multiplicación.
2.-Multiplicar los coeficientes numéricos.
3.-Multiplicar la parte literal aplicando las leyes de los exponentes.

Multiplicación de Monomio por un Polinomio:Para realizar esta operación se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación.

Multiplicación de Polinomio por Polinomio:Aplicamos la ley distributiva de la multiplicación.

Productos de Binomios
Los productos de algunos polinomios siguen un patrón fijo en cuanto al resultado de modo que puede obtenerse sin efectuar la multiplicación.

Matematicas Segundo Parcial

Potencias o exponentes

Todo numero elevado a una potencia implica la multiplicacion el mismo tantas veces como lo diga el exponente.

Reglas de los exponentes:
1.-La multiplicacion de dos cantidades de la misma base, es igual a tomar la misma base y sumar los exponentes.
2.-La division de dos cantidades de la misma base, es igual a tomar la misma base y restar los exponentes.
3.-La multiplicacion de dos o mas cantidades cuales quiera esta elevada a una potencia todos los factores que tengan el mismo exponente.
4.-Si la division de dos cantidades cuales quiera esta elevado a una potencia tanto el numerador como el denominador toman la misma potencia.
5.-Si una expresion exponencial se eleva a una potencia, se toma la misma y se multiplican los mismos exponentes.
6.-Toda expresion con un exponente negativo, es igual a su resiproco.
7.-Toda potencia con elevada a cero es igual a uno.
8.-Un numero elevado a una potencia fraccionada es igual a la raiz de un numero.